포커에서의 큰 숫자의 법칙(Law of Large Numbers) Part 1

포커에서의 큰 숫자의 법칙 Part 1

지난 번 글에서는 수학에 대해 다루며 게임 중 숙달도가 중요한지 혹은 중요하지 않은지에 대해 다루었다. 이 글은 조금 더 수학적인 부분을 다룰 것이다. 하지만 두려워 말라. 어려운 글에 비해서 상당히 재미있을 것이니.

누군가가 큰 숫자의 법칙(the law of large numbers)에 대해 얘기할 때 보통은 “무언가를 계속 시도 한다면 결국엔 이루어질 것이다.”라는 글과 함께 얘기를 한다. 이는 이 법칙의 아주 멍청한 버전이다. 이 법칙은 본래 스위스의 수학자인 Jakob Bernoulli(야콥 베르눌리)에 의해 세워졌으며 수학적으로 재해석 한 것이다.

A 이벤트라는 가정으로 실험을 하나 해보자. 이 A 이벤트의 확률은 p이다. n 회의 실험을 하며 이벤트에 소요된 시간을 zn이라 한다. e>0과 d>0의 선택 중 n>n0 P (|zn/n-p|≥e) ≤d 안의 n0도 있다.

대부분의 사람들이 포커 게임을 플레이 할 때 말하는 법칙과는 다르다고 느끼지 않는가? 만약 누군가가 이것의 실질적인 응용에 대해 인지하고 있다 하더라도 포커의 맥락과는다르다고 감히 말할 수 있다.

비전문가의 이 법칙의 응용과 수학적인 이해는 두개의 각기 다른 점을 숨기고 있다. 과학을 빌려 조금 더 보편적으로 바뀐 형식이 있다는 것에는 아무런 문제도 없겠다. 다른 한편으로는 이 법칙을 바탕으로 많은 잘못된 추정이 있다. 이에 대해 얘기해 볼 필요가 있겠다.

 

흔하게 하는 실수

이 법칙은 자주 잘못 이해되며 때로는 포커 플레이어들도 잘못 이해를 한다. 여기서 가장 중요하게 잘못 이해를 하는 부분은 장기적(Long-term) 결과(result)에 관한 것이다. 흔희 장기적인 시간 안에 어떠한 랜덤한 이벤트가 나타나 보상을 해줄 것이라고 생각하며 이로 인해 장기적으로 본 확률(probability)은 어느정도 괜찮을것이라고 생각한다. 여기 예가 있다.

힘들겠지만 로스트 핸드로 인해 지금이나 앞으로나 방해받지 말아야 하는 성향을 가지는 것이 좋겠다.  80-20% 시나리오라고 하고 보자. 포켓 A로 포켓 2 상대로 프리플랍 올인. 내 친구 중 한명(나와는 다른)은 차분한 사람중 한명이다. 이에 그가 말하는 것은:

  • “이제야 다시 돌려 받을 수 있을거야. 이런 상황은 80%정도 나한테 통해.”
  • “응 그럴거야 하지만 지금부터인 것이지. 벌써 악마가 이걸 가져간거야.”
  • “그렇게 생각하지 않아 이것 역시 카운트에 포함이야!.”

내 친구는 정말 괜찮은 포커 플레이어며 나보다 많은 성공을 거두었다. 하지만 이번엔 그가 틀렸다.

 

장기적에서 동전 뒤집기식 상황

당신의 인생에서 동전 뒤집기를 많이 해봤다면 결국엔 50:50이라고 생각 할 것이다. 이러한 상황을 50-50이라고 해보자. 이는 카운트 하기 더 쉽다. 당신의 커리어 시작이 운이 안좋아 첫 3회는 지면서 시작했다고 하자. 본래의 추정이 맞다면 당신은 앞으로의 동전 뒤집기에서 절반은 이겨야 한다. 그렇지 않으면 50:50이 아니니. 여기서 뭔가 맞지 않는다. 덱(deck)이나  RNG (random number generator)는 전에 우리가 얼마나 나쁜 런을 했는지 모르기 때문에 결국엔 50-50이 되어야 한다는 소리인데.

그렇다면 답은 무얼까? 카드는 절대로 기억하지 않는다. 하지만 어떤 종류의 균등함 정도는 눈치 챌 수 있다. 윈(Wins)이나 로쓰(Losses)는 균등해지지 않겠지만 이 둘의 수는 계속 대략 비슷해지며 1에 가까워 질 것이다. 조금 더 큰 숫자의 샘플로 예를 들어보자. 이 방법이 더 간략할 것이다.

당신이 동전 뒤집기 100판 중 45판을 이기고 55판을 졌다고 해보자. 로쓰가 약 10번 정도 많으며 비율은 45-55%이다. 각각의 베팅이 약 1달러라고 하면 -10달러가 현재의 상태이다. 이 정도로 우리의 무드를 망치지 않기에 당신은 계속 게임을 진행한다. 두달 정도 후 통계를 보며 다음을 경험 할 수 있겠다: 당신은 1000번의 동전 뒤집기 게임을 돌파하며 윈은 490, 로쓰는 510이다. 이 말은 로쓰-윈 비율이 49-51%로 훨씬 좋아졌다는 것이다. 좋아지는 이 숫자 부분을 무시하면 당신은 좋아진게 없다. 이 시점에서 당신은 로쓰가 아직 20회나 더 많기에 최정 결과는 -20 달러이기에.

조금 더 샘플을 크게 만들면 49-51은 50-50에 가까워 질 것이란 것은 사실이다. 하지만 아마도 로쓰와 윈의 차이는 균등해지지 않을 것이다. 당신의 -20은 간단히 더 안좋아질 수 있다. 그렇기는 해도 전세가 역전이 되어 플러스로 갈 수도 있다. 당신의 칩이나 달러의 손해가 결국엔 다시 돌아 올 것이라고 확정짓는 수학적 법칙은 없다. 당신의 게임에 대한 지식, 통찰력, 좋은 선택만이 도와줄 것이다.

그리고 위에서 말한 50-50의 사실은 언제든 쉽게 80-20이 될 수도 있다는 것을 기억하자. 이 점은 변하지 않는다.

지금까지의 글로 인하여 많은 이론이 탄생할 수 있겠다. 다음에는 그러한 것들을 다루어보겠다.